립시츠 연속 함수

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해석학에서, 립시츠 연속 함수(영어: Lipschitz-continuous function)는 두 점 사이의 거리를 일정 비 이상으로 증가시키지 않는 함수이다. 이름은 독일의 수학자인 루돌프 립시츠의 이름을 땄다.

1 정의[편집 | ]

거리 공간 [math](X,d_X)[/math], [math](Y,d_Y)[/math] 사이의 함수 [math]f\colon X\to Y[/math] 및 음이 아닌 실수 [math]K\ge0[/math]가 다음 조건을 만족시킨다면, [math]f[/math][math]K[/math]-립시츠 연속 함수라고 한다.

  • 임의의 [math]x,x'\in X[/math]에 대하여, [math]d_Y(f(x),f(x'))\le Kd_X(x,x')[/math]

거리 공간 [math](X,d_X)[/math], [math](Y,d_Y)[/math] 사이의 함수 [math]f\colon X\to Y[/math]가 적어도 하나의 음이 아닌 실수 [math]K\ge0[/math]에 대하여 [math]K[/math]-립시츠 함수라면, [math]f[/math]립시츠 연속 함수라고 한다.

2 성질[편집 | ]

립시츠 연속 함수 [math]f\colon\mathbb R\to\mathbb R[/math]는 다음 조건들을 만족시킨다.

미분 가능 함수 [math]f\colon\mathbb R\to\mathbb R[/math]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • [math]f[/math]는 립시츠 연속 함수이다.
  • [math]\sup\{|f'(x)|\colon x\in\mathbb R\}\lt \infty[/math]이다.

3[편집 | ]

함수 [math]\sqrt{}\colon[0,1]\to\mathbb R[/math]균등 연속 함수이지만 립시츠 연속 함수가 아니다. 지수 함수 [math]\exp\colon\mathbb R\to\mathbb R[/math]연속 함수이며 해석함수이지만 립시츠 연속 함수가 아니다.

4 참고 문헌[편집 | ]

  • Boris Hasselblatt, Anatole Katok (2003). A First Course in Dynamics: with a Panorama of Recent Developments, 1 edition, Cambridge University Press

5 같이 보기[편집 | ]

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