등비수열

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등비수열(等比數列, 문화어: 같은비수렬, 영어: geometric sequence) 또는 기하수열(幾何數列)은 각 항이 그 앞 항과. 일정한 비를 가지는 수열을 말한다. 그리고, 이 일정한 비를 공비(共比, common ratio)라고 한다.

첫항이 a이고 공비가 r인 등비수열은 다음과 같다.

[math]a, ar, ar^2, ar^3, \cdots[/math]

1 등비수열의 예[편집 | ]

첫항이 1이고 공비가 2인 등비수열은 다음과 같다.

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, ... 즉 1, 1*2, 1*22, 1*23... 이다.

첫항이 729이고 공비가 2/3인 등비수열은 다음과 같다.

729, 486, 324, 216, 144, 96, 64, ...

첫항이 3이고 공비가 -1인 등비수열은 다음과 같다.

3, -3, 3, -3, 3, -3, 3, -3, ...

2 기본적 성질[편집 | ]

첫항이 a이며, 공비가 r인 등비수열의 n번째 항은 다음과 같다.

[math]a_n = a r^{n-1} \;[/math]

등비수열은 다음과 같은 점화식으로 표현될 수 있다.

[math]a_n r = a_{n+1}[/math]

이를 이용해, 일반적으로 어떤 수열이 등비수열인지 확인하기 위해서는 각각의 연속된 항의 비가 일정한지만 확인하면 된다.

등비수열은 공비에 따라 여러 경향을 보이는데 만약 공비가

  • 양수이면, 모든 은 첫항과 같은 부호를 가진다.
  • 음수이면, 계속 부호가 번갈아 가며 나타난다.
  • 1보다 크면, 양의 무한대를 향해 지수적으로 증가한다.
  • 1이면, 모든 의 값이 같아진다.
  • −1과 1사이에 있지만 0이 아니면, 0을 향해 지수적으로 감소한다.
  • −1이면, 모든 절댓값은 같지만, 부호가 계속 번갈아 가며 나타난다.
  • 0이면, 첫항을 제외한 모든 항이 0이 된다.

등비수열은(공비가 −1, 1, 0이 아닌경우) 등차수열과 같이 선형 변화를 보이는 것과 달리, 지수적 변화를 보인다. 이 두 수열은 관계가 전혀 없어 보이지만, 등차수열거듭제곱을 취하면 등비수열이 되고 반대로 등비수열의 각 항에 로그를 취하면 등차수열이 되는 관계를 가지고 있다.

3 등비중항[편집 | ]

0이 아닌 세 수 [math]a[/math], [math]b[/math], [math]c[/math]가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, [math]b[/math][math]a[/math][math]c[/math]등비중항이라 한다.

따라서 세 수 [math]a[/math], [math]b[/math], [math]c[/math]에 대하여, [math]b[/math][math]a[/math][math]c[/math]의 등비중항이라면

[math]\frac{b}{a} = \frac{c}{b} = r[/math] 즉, [math]b^2 =ac[/math]가 성립한다.

[math]b^2 =ac[/math]에서 [math]b=\pm\sqrt{ac}[/math]이므로 등비중항은 양수와 음수로 2개이다.

[math]b=\pm\sqrt{ac}[/math]은 실제 기하평균의 꼴이다.

4 합 구하기[편집 | ]

초항부터 [math]n[/math]항까지의 합은 이 공식으로 나타낼 수 있다.

[math]\frac{a(1-r^n)}{1-r}[/math] 인데, 편의상 [math]\frac{a(r^n-1)}{r-1}[/math]를 사용해도 된다.

단, [math]r=1[/math]인 경우, [math]na[/math]로 표현한다. [math]r \neq 1[/math]인 경우는 다음과 같다.

4.1 증명[편집 | ]

[math]S_n=a+ar+ar^2+ar^3+...+ar^{n-1}[/math]

양변에 [math]r[/math]을 곱하면

[math]rS_n=ar+ar^2+ar^3+...+ar^{n-1}+ar^n[/math]

위 두 식을 빼면

[math](1-r)S_n=a-ar^n[/math]

[math]r \neq 1[/math]이므로

[math]S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}[/math]

5 등비급수[편집 | ]

[math]a_1[/math]부터 [math]a_n[/math]까지 더한 합인 등비급수(문화어: 같은비합렬, 영어: geometric series) 또는 기하급수 [math]S_n[/math]은 다음과 같이 구할 수 있다.

[math]S_n = a+ar^1+ar^2+ar^3+ \cdots +ar^{n-1}[/math]
[math]= a(1 + r^1 + r^2 + \cdots + r^{n-1})[/math]

여기에서 [math]r[/math]의 값이 1이 아니라면, 다음과 같이 정리할 수 있다.

[math]S_n = a\frac{(1 + r^1 + r^2 + \cdots + r^{n-1})(r-1)}{r-1}[/math]
[math]= a\frac{r^n-1}{r-1} = a\frac{1-r^n}{1-r}[/math]

5.1 무한등비급수[편집 | ]

무한등비급수는 등비수열의 각 항을 무한히 더한 것이며, 그 합은 다음과 같다.

[math]\sum_{k=0}^\infty ar^k = \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=0}^{n-1} ar^k} = \lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{a}{1-r} ([/math] 단, [math]|r| \lt 1[/math] )

6 같이 보기[편집 | ]

7 외부 링크[편집 | ]

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