끝 (위상수학)

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일반위상수학에서, (영어: end)은 대략 어떤 위상 공간의 "경계"의 "연결 성분"을 뜻한다. 구체적으로, 점점 더 큰 콤팩트 집합을 잘라냈을 때 남는 연결 성분들의 사영 극한이다.

1 정의[편집 | ]

위상 공간 [math]X[/math]이 주어졌다고 하자. 그 속의 모든 콤팩트 집합들의 부분 순서 집합 [math]\operatorname{Comp}(X)[/math]를 생각하자.

이제, 임의의 콤팩트 집합 [math]K\subseteq X[/math]에 대하여, 그 여집합연결 성분들의 집합

[math]\pi_0(X\setminus K)[/math]

을 생각할 수 있다. 각 포함 사상 [math]K\subseteq K'\subseteq X[/math]에 대하여 자연스러운 함수

[math]\pi_0(X\setminus K')\to\pi_0(X\setminus K)[/math]
[math]C'\mapsto C\iff C'\subseteq C\qquad\forall C\in\pi_0(X\setminus K),\;C'\in\pi_0(X\setminus K')[/math]

가 존재한다. 이에 따라, 사영 극한

[math]\operatorname{Ends}(X)=\varprojlim_{K\in\operatorname{Comp}(X)}\pi_0(X\setminus K)[/math]

를 취할 수 있다. [math]\operatorname{Ends}(X)[/math][math]X[/math]들의 집합이라고 한다.

1.1 끝 콤팩트화[편집 | ]

위상 [math]X[/math]가 주어졌을 때, 분리합집합 [math]X\sqcup\operatorname{Ends}(X)[/math]에 다음과 같은 기저로 생성되는 위상을 줄 수 있다.

[math]\operatorname{Open}(X)\cup \left\{U\sqcup\{e\}\colon U\in\operatorname{Open}(X),\;e\in\operatorname{Ends}(X),\;\exists K\in\operatorname{Comp}(K)\colon e_K\subseteq U\right\}[/math]

여기서 [math]\operatorname{Open}(X)[/math][math]X[/math]열린집합들의 족이다.

이를 [math]X[/math]끝 콤팩트화(끝compact化, 영어: end compactification)라고 하며, 이는 항상 콤팩트 공간이다.

2 성질[편집 | ]

다음과 같은 두 범주를 생각하자.

그렇다면, 끝 집합은 함자

[math]\operatorname{Ends}\colon\operatorname{Top_{prop}}\to\operatorname{Set}[/math]

를 정의한다. 구체적으로, 임의의 연속 고유 함수 [math]f\colon X\to X'[/math] 및 끝 [math](C_K)_{K\in\operatorname{Comp}(X)}[/math]에 대하여,

[math]\operatorname{Ends}(f)\colon (C_K)_{K\in\operatorname{Comp}(X)}\mapsto \left(f_{*,K'}C_{f^{-1}(K')}\right)_{K'\in\operatorname{Comp}(X')}[/math]

이다. 여기서

[math]f_{*,K'}\colon\pi_0(X\setminus f^{-1}(K'))\to\pi_0(X'\setminus K')[/math]

[math]f[/math]로 유도되는 표준적인 함수이다.

2.1 위상군[편집 | ]

경로 연결 위상군은 두 개 이하의 끝을 갖는다.[1]:Theorem 2

3[편집 | ]

콤팩트 공간은 (정의에 따라) 끝을 갖지 않으며, 그 끝 콤팩트화는 스스로와 같다.

실수선은 두 개의 끝을 가지며, 그 끝 콤팩트화는 확장된 실수의 공간이다. 2차원 이상의 유클리드 공간은 하나의 끝을 가지며, 그 끝 콤팩트화는 같은 차원의 초구이다.

콤팩트 다양체 [math]M[/math] 속에 유한 개의 점 [math]x_1,x_2,\dots,x_n\in M[/math]을 고르자. 그렇다면, [math]M\setminus\{x_1,\dots,x_n\}[/math][math]n[/math]개의 끝을 갖는다. 그 끝 콤팩트화는 원래의 다양체 [math]M[/math]이다.

4 역사[편집 | ]

끝의 개념은 한스 프로이덴탈이 1931년에 도입하였다.[2]

5 참고 문헌[편집 | ]

  1. Peschke, Georg (1990). “The theory of ends” (PDF). 《Nieuw Archief voor Wiskunde》 (영어) 8: 1–12. 
  2. Freudenthal, Hans (1931). “Über die Enden topologischer Räume und Gruppen”. 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) 33: 692–713. ISSN 0025-5874. Zbl 0002.05603. doi:10.1007/BF01174375. 

6 외부 링크[편집 | ]

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