결맞는 상태

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결맞는 상태(-狀態, coherent state)는 양자 조화 진동자의 소멸연산자의 고유상태다. 고전적인 조화 진동자의 상태에 가장 근접한 일련의 상태를 나타낸다.

1 역사[편집 | ]

에르빈 슈뢰딩거가 1926년에 도입하였다.[1] 로이 글라우버(영어: Roy Jay Glauber)가 1963년에 양자광학에 도입하였다.[2]

2 정의[편집 | ]

양자 조화 진동자의 연산자는 사다리 연산자 [math]a[/math], [math]a^\dagger[/math]로 나타낸다. 임의의 복소수 [math]\alpha[/math]에 대하여, 그에 해당하는 결맞는 상태 [math]|\alpha\rangle[/math]는 다음을 만족한다.

[math]a|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle[/math]

즉 소멸연산자 [math]a[/math]에 고윳값 [math]\alpha[/math]를 갖는 고유상태다.

3 성질[편집 | ]

결맞는 상태는 다음을 만족한다. (해밀토니안 [math]H=\frac12(p^2/m+m\omega^2x^2)[/math]에서 [math]m=\omega=\hbar=1[/math]로 놓자.)

[math]\langle x\rangle=\sqrt{2}\Re(\alpha)[/math]
[math]\langle p\rangle=\sqrt{2}\Im(\alpha)[/math]
[math]\Delta x=\Delta p=1/\sqrt{2}[/math]
[math]\langle n\rangle=(\Delta n)^2=|\alpha|^2[/math].

사실 입자 수 [math]n=H-1/2[/math]푸아송 분포를 따른다. 즉

[math]P(n)=\exp(-|\alpha|^2)|\alpha|^{2n}/n![/math]

이다.

4 표현[편집 | ]

결맞는 상태는 포크 기저로 전개하면 다음과 같다.

[math]|\alpha\rangle =e^{-{|\alpha|^2\over2}}\sum_{n=0}^{\infty}{\alpha^n\over\sqrt{n!}}|n\rangle[/math].

위치 기저로 전개하면 다음과 같다.

[math]\psi^{(\alpha)}(x,t)=\frac1{\pi^{1/4}}\exp\left(-\frac12\left(x-\sqrt{2}\Re[\alpha(t)]\right)^2+i\sqrt{2}\Im[\alpha(t)]x+i\delta(t)\right)[/math]

여기서

[math]\delta(t)=-\frac12t+\frac12|\alpha(0)|^2\sin(2t-2\sigma)[/math]

다. [math]\sigma[/math]는 초기조건을 나타내는 도움변수다.

5 참고 문헌[편집 | ]

  1. Schrödinger, Erwin (1926). “Der stetige Übergang von der Mikro- zur Makromechanik”. 《Naturwissenschaften14 (28): 664–666. doi:10.1007/BF01507634. 
  2. Glauber, Roy J. (1963). “Coherent and Incoherent States of the Radiation Field”. 《Physical Review131: 2766–2788. doi:10.1103/PhysRev.131.2766. 
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